2023 - École d'été sur les fibrés et leurs connexions - Écoles de pointe

Les fibrés et leurs connexions, Du 19 au 23 juin 2023, à la Faculté des sciences de l'Université de Sherbrooke

Date : 19 au 23 juin 2023
Lieu : Faculté des sciences de l'Université de Sherbrooke
Coût : Gratuit
Hébergement : Sur place, gratuit pour les personnes qui étudient à l'extérieur du Campus principal de l'UdeS

Présentation

Les fibrés décrivent les espaces topologiques qui ont localement la structure d’un produit, mais qui peuvent avoir une structure globale plus complexe. L’exemple le plus simple de fibré non-trivial est un ruban de Möbius : il a la même structure locale qu’un cylindre, mais globalement il est différent puisque le ruban de Möbius n’est pas orientable. L’étude d’exemples de fibrés comme le fibré tangent d’une variété remonte au moins jusqu’au 19^e, mais l’intérêt pour les fibrés généraux en eux-mêmes débute entre 1935 et 1940. Les espaces fibrés ont des applications dans tous les domaines de la géométrie et de la topologie, ainsi que dans des domaines plus concrets comme la relativité générale et la mécanique quantique. La plupart des personnes étudiantes rencontrent les fibrés vectoriels pour la première fois dans un cours de géométrie différentielle à la maîtrise. Puis, ces mêmes objets réapparaissent dans plusieurs autres contextes de cours et de recherche.

Objectif

L’objectif de l’école d’été est de présenter simultanément plusieurs aspects des espaces fibrés pour souligner la grande variété de domaines dans lesquels ces objets mathématiques sont utiles. Beaucoup de temps sera consacré aux exercices, avec pour but que les participants et participantes ressortent avec une capacité à reconnaître, manipuler et faire des calculs explicites sur les fibrés. Une fenêtre sur certains domaines de recherche dans lesquels les fibrés sont utilisés sera présentée à la fin de l’école.

Public visé

L'école est destinée aux étudiant(e)s de deuxième et de troisième cycles. Les étudiant(e)s enthousiastes avancé(e)s de premier cycle sont aussi invité(e)s à s'inscrire. Les notions préalables sont limitées aux notions vues dans des cours standards d'un programme du baccalauréat en mathématiques. Les cours seront donnés en français.

Inscription

La date limite pour l’inscription est le 19 avril 2023.

Vous devez remplir le formulaire d'admission et d'inscription et le transmettre par courriel à l'adresse Vasilisa.Shramchenko@USherbrooke.ca

Important
Pour les personnes provenant de l'extérieur de l'UdeS, il est nécessaire de joindre une copie de votre certificat de naissance ou de votre passeport.

Cours

Introduction aux fibrés et aux fibrés principaux, 7 h (Emily Cliff)

Définitions et exemples des variétés, des fibrés vectoriels et des fibrés principaux. Les morphismes et les sections des fibrés. La construction des fibrés associés et la correspondance entre les fibrés vectoriels de rang n et les fibrés principaux de GL_n.

Connexions, fibrés plats et représentations, 6 h (Maxence Mayrand)

Définitions des connexions et de leur courbure sur les fibrés vectoriels et principaux. Transport parallèle et holonomie. Connexions plates et représentations du groupe fondamental.

Différentielles abéliennes, 6 h (Vasilisa Shramchenko)

Différentielles abéliennes sur des surfaces de Riemann compactes en tant que sections du fibré cotangent. Diviseurs des différentielles abéliennes. Exemples sur la sphère de Riemann et sur des surfaces hyperelliptiques.

Faisceaux et cohomologie, 6 h (Jean-Philippe Burelle)

Définition de faisceaux d'ensembles, de groupes abéliens et d'espaces vectoriels sur un espace topologique avec comme exemple principal les fibrés vectoriels. Exemples provenant de la géométrie. Fibre d'un faisceau et espace étalé. Cohomologie de Čech.

Fibration de Hopf, 2 h (Maxence Mayrand)

Construction de la fibration de Hopf comme exemple non-trivial de fibré. Quelques propriétés géométriques découlant de la projection stéréographique sur R^3.

Exploration, 2 h

Quatre exposés de 30 minutes chacun qui montreront quelques avancées récentes en recherche dans les sujets couverts par les mini-cours présentés.